Главная страница / 3. Системы счисления: 3.3. Перевод чисел из дес...

3.3. Перевод чисел из десятичной системы в другую позиционную систему счисления и обратно

Навигация по разделу:

3.3.1. Перевод целого десятичного числа в другую позиционную систему счисления
3.3.2. Перевод правильной десятичной дроби в другую позиционную систему счисления
3.3.3. Перевод числа в десятичную систему счисления

3.3.1. Перевод целого десятичного числа в другую позиционную систему счисления

↑ Наверх

Правило перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q.

Необходимо N разделить с остатком («нацело») на q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равно нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения [2].

Пример 3.2. Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

img32

Ответ: 7510 = 10010112 = 1138 = 4B16.

3.3.2. Перевод правильной десятичной дроби в другую позиционную систему счисления

↑ Наверх

Правило перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q.

Необходимо F умножить на q , записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой [2].

Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q-(k+1)/ 2.

Пример 3.3. Переведем число 0,42 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

img33

Ответ:

а) 0,4210= 0,011012 с предельной абсолютной погрешностью 2-6/2=2-7;

б) 0,4210=0,3278 с предельной абсолютной погрешностью 8-4/2=2-13;

в) 0,4210=0,6B852 с предельной абсолютной погрешностью 16-5/2=2-21.

Для чисел, имеющих целую и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для каждой из частей, а затем складываются.

3.3.3. Перевод числа в десятичную систему счисления

↑ Наверх

Правило перевода в десятичную систему числа X, записанного в q-ичной системе счисления в виде Xq = (an an-1 ...a0 , a-1 a-2 ... a-m)q производится путем вычисления значения многочлена:

X10 = an qn + an-1 qn-1 + ... + a0 q0 + a-1 q-1 + a-2 q-2 + ... + a-m q-m ,

здесь n – номер разряда (считается от запятой влево начиная с 0); m – номер разряда дробной части (считается вправо от запятой, начиная с 1).

Пример 3.4. 

img34