Главная страница / 20. Классификация и формы представления ...: 20.2. Классификация матем...

20.2. Классификация математических моделей

← 20.1. Формы представления моделей 20.3. Контрольные вопросы и задания →

К классификации математических моделей также можно подойти с разных точек зрения, положив в основу классификации различные принципы (табл. 20.1).

Можно классифицировать модели по отраслям наук: математические модели в физике, биологии, социологии и т.д. Такая классификация естественна для специалиста в какой-то одной науке, предметной области [11].

Можно классифицировать модели по применяемому математическому аппарату: модели, основанные на использовании обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, вероятностно-статистических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д. Подобная классификация удобна для специалиста в области математического моделирования [11].

В зависимости от целей моделирования можно привести следующую классификацию [11]:

  • дескриптивные (описательные) модели;
  • оптимизационные однокритериальные модели;
  • оптимизационные многокритериальные модели;
  • игровые модели;
  • имитационные модели.

Например, при моделировании движения кометы в Солнечной системе описывается (предсказывается) траектория ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли, и т.д. – т. е. ставятся чисто описательные цели. У исследователя нет возможности повлиять на движение кометы, что-то изменить.

В других случаях можно воздействовать на процессы, пытаясь добиться какой-то цели.

Например, меняя ассортимент продукции, которая выпускается предприятием, и объем выпуска продукции каждого вида можно найти такие значения, при которых достигается максимальная прибыль, т.е. определяется оптимальный план выпуска продукции по критерию максимизации прибыли.

Таблица 20.1. Классификация математических моделей

 
№ п/п
 Классификационный признак
 Типы математических моделей
1.
 По отраслям науки
  • Математические модели в физике
  • Математические модели в экономике
  • Математические модели в социологии
  • ...
2.
 По используемому математическому аппарату
  • Алгебраические
  • Дифференциальные
  • Интегро-дифференциальные
  • Вероятно-статистические
  • ...
3.
 По цели моделирования
  • Дескриптивные (описательные)
  • Оптимизационные однокритериальные
  • Оптимизационные многокритериальные
  • Игровые
  • Имитационные.
4.
 По характеру процессов, протекающих в исследуемой области
  • Детерминированные и стохастические;
  • Статические и динамические;
  • Дискретные, непрерывные и дискретно-Непрерывные.

Часто приходится находить оптимальное решение задачи по нескольким критериям сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми.

Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, можно определить рацион питания больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.), наиболее дешевый и наиболее калорийный. Очевидно, что эти цели, могут противоречить друг другу и необходимо найти компромиссное решение, удовлетворяющее в определенной степени всем критериям.

Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным.

Например, полководец перед сражением в условиях недостаточной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника.

Наконец, бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его.

Так, моделируя изменение (динамику) численности микроорганизмов в колонии, можно рассматривать много отдельных объектов и следить за судьбой каждого из них, ставя определенные условия для его выживания, размножения и т.д. При этом явное математическое описание процесса может не использоваться, заменяясь некоторыми условиями (например, если по истечении заданного отрезка времени микроорганизм делится на две части, а другого отрезка – погибает).

В настоящее время моделирование широко используется в сфере управления различными системами, где важнейшими являются процессы принятия решений на основе получаемой информации [15]. Моделирование применяется при исследовании, проектировании, внедрении вычислительных систем (ВС) и автоматизированных систем управления (АСУ).

Выбор математической модели зависит от этапа разработки системы. На этапах обследования объекта управления (например, промышленного предприятия) и разработки технического задания на проектирование ВС, АСУ строятся описательные модели и преследуется цель наиболее полно представить в компактной форме информацию об объекте, необходимую разработчику системы.

На этапе разработки технического проекта ВС, АСУ моделирование служит для решения задачи проектирования, т.е. выбора оптимального варианта по определенному критерию или совокупности критериев при заданных ограничениях из множества допустимых (построение однокритериальных и многокритериальных оптимизационных моделей).

На этапе внедрения и эксплуатации ВС, АСУ строятся имитационные модели, позволяющие проигрывать возможные ситуации для принятия обоснованных и перспективных решений по управлению объектом. Игровые и имитационные модели также широко применяют при обучении и тренировке персонала.

В зависимости от характера изучаемых процессов, протекающих в системе, (объекте) все виды моделей могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные [11,12,14,15].

Детерминированная модель отображает детерминированные процессы, т.е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий. В детерминированных моделях входные параметры поддаются измерению однозначно и с любой степенью точности, т.е. являются детерминированными величинами. Соответственно, процесс эволюции такой системы детерминирован.

Например, детерминированные модели используются в физике (модель движения автомобиля при равноускоренном движении: задавая начальную скорость и ускорение можно точно рассчитать путь, пройденный автомобилем с момента начала движения в идеальных условиях); для описания движения небесных тел в астрономии также используют детерминированные модели.

Стохастические (теоретико-вероятностные) модели используются для отображения вероятностных процессов и событий. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики. В стохастических моделях значения входных параметров (переменных) известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются стохастическими, соответственно, случайным будет и процесс эволюции системы.

Например, стохастической будет модель, описывающая изменение температуры воздуха в течение года. Точно предсказать температуру воздуха не будущий период невозможно, задается только диапазон изменения температуры и вероятность того, что истинная температура воздуха попадет в этот диапазон.

Стохастические модели применяется для исследования системы, состояние которой зависит не только от контролируемых, но и от неконтролируемых воздействий или в ней самой есть источник случайности. К стохастическим системам относятся все системы, которые включают человека, например, заводы, аэропорты, вычислительные системы и сети, магазины, предприятия бытового обслуживания и т.п.

Статические модели служат для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамические модели отражают поведение объекта во времени.

Например, вероятностно-статистическая модель, описывающая взаимосвязи между годовыми показателями деятельности (прибыль, объем производства, фонд заработной платы и т.д.) предприятий торговли г. Новосибирска за прошедший год, – статическая. В качестве исходных данных при моделировании используются годовые показатели за год, например, по 100 предприятиям торговли.

Если решается та же задача, но изучаются показатели в динамике за несколько лет, то для описания взаимосвязей необходимо применять динамические модели. В математическом описании динамической модели всегда присутствует переменная t – время, при математическом описании статической модели время либо не вводится, либо зафиксировано на определенном уровне.

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывные модели позволяют отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Например, моделируется работа дифференцирующего фильтра: в каждый такт времени через равные промежутки подается входной сигнал x(t), на выходе снимается значение производной x'(t) . В данном случае входной и выходной сигналы – дискретны по времени и соответственно дискретна модель.

Пример непрерывной модели по времени – имитационная модель, описывающая процесс обработки деталей на производственном участке цеха в течение рабочей смены. На вход модели поступают заявки (детали) через случайные интервалы времени, интервал обработки детали также задан случайно. На выходе модели – оценка среднего времени обработки детали, оценка среднего времени ожидания в очереди на обработку, вероятность простоя оборудования и т.п. Работа системы моделируется непрерывно в течение заданного промежутка времени (рабочая смена), т.е. в любой момент времени может поступить деталь на обработку или завершиться обработка детали.

← 20.1. Формы представления моделей 20.3. Контрольные вопросы и задания →