Главная страница / 25. Типовые алгоритмы: 25.2. Решение уравнений и...
25.2. Решение уравнений итерационными методами
| ← 25.1. Вычисление конечных и бесконечных сумм и... | 25.3. Расчет таблиц функциональных зависимостей → |
Циклы с пред- и послеусловием используются при решении уравнений вида F(x) = 0 итерационными методами. Левая часть уравнения F(x) предполагается такой, что аналитическое решение получить невозможно. Численные итерационные методы позволяют получить решение методом последовательных приближений – итераций, на каждой из которых находится новое, уточненное решение. Задав нулевое приближение корня x0, по некоторой итерационной формуле вычисляется приближение x1. По нему, используя ту же итерационную формулу, вычисляется x2, затем – x3 и т. д. Итерации останавливаются, когда разница между двумя последними найденными значениями станет по абсолютной величине меньше заданной погрешности ε: | xk – xk-1 | < ε. Последнее значение xk принимается за искомое решение.
Метод простых итераций требует преобразования уравнения F(x) = 0 к виду x = f(x). Из этого вида следует итерационная формула:
xk = f(xk-1),
где k = 1, 2, 3, … – индекс итерации. Метод простых итераций обеспечивает сходимость вычислений к корню, если на интервале итераций выполняется условие 
Блок-схема метода простых итераций на основе цикла с послеусловием приведена на рис. 25.3. Итерационная формула разбивается на три части, сначала на итерации по входящему в нее значению x вычисляется новое приближение корня xk, затем – разность dx = xk – x, а далее выполняется переприсвоение x = xk для выполнения новой итерации. Разность dx используется для проверки условия повторения итераций.
Рис. 25.3. Блок-схема алгоритма метода простых итераций
В реальной практике нелинейные уравнения чаще всего решаются методом Ньютона с использованием следующей итерационной формулы:
,
где F'(x) - производная левой части уравнения. Метод обеспечивает быструю сходимость итераций, если на их интервале первая и вторая производные левой части уравнения не изменяют знаки. Соответствующая блок-схема представлена на рис. 25.4. Алгоритм реализован на основе цикла с послеусловием, хотя может быть использован и цикл с предусловием. Тело цикла реализует итерационную формулу и не требует пояснений. Логическое выражение при завершении цикла состоит из двух условий, соединенных по ИЛИ. Цикл повторяется, если приращение неизвестной больше или равно погрешности εx либо левая часть уравнения по абсолютной величине больше или равна погрешности εf. Использование двух погрешностей позволяет кроме нахождения корня с заданной погрешностью добиться и малой невязки левой части уравнения с нулем.
Рис. 25.4. Блок-схема алгоритма метода Ньютона
| ← 25.1. Вычисление конечных и бесконечных сумм и... | 25.3. Расчет таблиц функциональных зависимостей → |